Question

【题目】已知二次函数，且.

（1）定义：对于函数，若存在，使，则称是的一个不动点；

（i）当，时，求函数的不动点；

（ii）对任意实数b，函数恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；

（2）求的图像在x轴上截得的线段长的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（i），或.（ii）或者（2）

【解析】

(1)（i）要使得，直接计算出的值即可；

（ii）理解题意，转化为方程有两个不等实数根，根据即可求出的取值范围；

(2) 求图像在x轴上截得的线段长，即求，利用韦达定理，即可求出取值范围.

1．（i）依题意得，，，

要使，则，

解得，或.

（ii）根据不动点定义，有，

即：，

对任意实数，函数恒有两个相异的不动点,

所以恒成立，

即：对于任意实数b，都有 恒成立，

所以 ，解得或.

（2）因为，则，.

所以，

又因为，所以.

设，则，

则，令

对称轴为：，所以，

所以，得出.

则的图像在轴上截得的线段长的取值范围是.