Question

【题目】已知函数.

（1）若函数恰有一个零点，求实数的取值范围；

（2）设关于的方程的两个不等实根，求证：（其中为自然对数的底数）.

Answer 1

【答案】(1) (2)见解析

【解析】试题分析:(1)求出函数的定义域和导函数,对参数m进行讨论得出函数的单调性,根据零点存在性定理判断零点的个数,求出m的取值范围;(2) 记函数，，则函数的两个相异零点为,将零点代入写出方程,并对两式相加和相减,再利用分析法以及变量集中构造新函数,并利用导数求最值的方法证得命题成立.

试题解析:

（1）由题意知的定义域为，

且.

①当时，，在区间上单调递增，

又，，

∴，即函数在区间有唯一零点；

②当时，，

令，得.

又易知函数在区间上单调递增，

∴恰有一个零点.

③当时，令，得，

在区间上，，函数单调递增；

在区间上，，函数单调递减，

故当时，取得极大值，

且极大值为，无极小值.

若恰有一个零点，则，解得，

综上所述，实数的取值范围为.

（2）记函数，，

则函数的两个相异零点为

不妨设，

∵，，

∴，，

两式相减得，

两式相加得.

∵，

∴要证，即证，

只需证，

只需证，

即证，

设，则上式转化为，

设，，

∴在区间上单调递增，

∴，∴，

即，即.

点睛:本题考查函数的应用,利用导数解决函数的零点以及函数的单调性,最值和不等式的证明等问题. 本题也考查了零点存在性定理的应用,如果函数在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有,那么函数在区间[a,b]内有零点,即存在,使得,这个c也就是方程的实数根.但是反之不一定成立.