Question

在直角坐标系xOy中，曲线C₁的点均在C₂：(x－5)²＋y²＝9外，且对C₁上任意一点M，M到直线x＝－2的距离等于该点与圆C₂上点的距离的最小值．

(Ⅰ)求曲线C₁的方程；

(Ⅱ)设P(x₀，y₀)(y₀≠±3)为圆C₂外一点，过P作圆C₂的两条切线，分别与曲线C₁相交于点A，B和C，D．证明：当P在直线x＝－4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)解法1：设M的坐标为，由已知得 　　， 　　易知圆上的点位于直线的右侧．于是，所以 　　． 　　化简得曲线的方程为． 　　解法2：由题设知，曲线上任意一点M到圆心的距离等于它到直线的距离，因此，曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，故其方程为． 　　(Ⅱ)当点P在直线上运动时，P的坐标为，又，则过P且与圆相切得直线的斜率存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为．于是 　　 　　整理得 　　① 　　设过P所作的两条切线的斜率分别为，则是方程①的两个实根，故 　　② 　　由得③ 　　设四点A，B，C，D的纵坐标分别为，则是方程③的两个实根，所以 　　④ 　　同理可得 　　⑤ 　　于是由②，④，⑤三式得 　　 　　 　　． 　　所以，当P在直线上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值6400．

提示：

本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系，考查运算能力，考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法．第一问用直接法或定义法求出曲线的方程；第二问设出切线方程，把直线与曲线方程联立，由一元二次方程根与系数的关系得到四点纵坐标之积为定值，体现“设而不求”思想．