Question

如图，摩天轮的半径为50m，圆心O点距地面的高度为60m，摩天轮做匀速转动，每3min转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在最低点处，已知在时刻t（min）时点P距离地面的高度f（t）=Asin（ωt+φ）+h．
（1）求在2006min时点P距离地面的高度；
（2）求证：不论t为何值时f（t）+f（t+1）+f（t+2）为定值．

Answer 1

分析：（1）由实际问题求出三角函数中的参数A，h，及周期T，利用三角函数的周期公式求出ω，通过初始位置求出φ，求出f（t），将t用2006代替求出2006min时点P距离地面的高度
（2）将t，t+1，t+2代入函数解析式，利用两角和的公式将三角函数式展开，求出值．

解答：解：（1）由题意可知：A=50，h=60，T=3，∴ω=

2

3

π，
即f(t)=50sin(

2

3

πt+?)+60．
又∵f(0)=10，故?=-

π

2

．∴f(t)=50sin(

2

3

πt-

π

2

)+60，
得f（2006）=85．即点P距离地面的高度为85m．
（2）由（1）知f(t)=50sin(

2

3

πt-

π

2

)+60=60-50cos

2

3

πt．
∴f（t）+f（t+1）+f（t+2）=60-50cos

2

3

πt+60-50cos

2

3

π(t+1)+60-50cos

2

3

π(t+2)
=180-50[cos

2

3

πt+cos(

2

3

πt+

2

3

π)+cos(

2

3

πt+

4

3

π)]=180-50[cos

2π

3

t+(-

1

2

)cos

2π

3

t-

3

2

sin

2πt

3

+(-

1

2

)cos

2π

3

t-(-

3

2

)sin

2π

3

t]
=180
故不论t为何值，f（t）+f（t+1）+f（t+2）是定值．

点评：本题考查通过实际问题得到三角函数的性质，由性质求三角函数的解析式；考查两角和的正弦公式．