Question

如果直线l：y=kx-5与圆x²+y²-2x+my-4=0交于M、N两点，且M、N关于直线2x+y=0对称，则直线l被圆截得的弦长为

 

．

Answer 1

分析：把圆的方程化为标准式，求出圆心坐标和半径，由题意得，直线l：y=kx-5与直线2x+y=0垂直，圆心（1，

m

2

）在直线2x+y=0上，求出 k、m，求出圆心到直线l的距离d，由弦长公式求得直线l被圆截得的弦长．

解答：解：圆x²+y²-2x+my-4=0  即 (x-1)2+(y+

m

2

)2= 5+

m2

4

，表示圆心为（1，

m

2

），
半径等于

5+ m2 4

的圆． 
由题意得，直线l：y=kx-5与直线2x+y=0垂直，∴k•（-2）=-1，∴k=

1

2

，
∴直线l方程为   x-2y-10=0． 
而且圆心（1，

m

2

）在直线2x+y=0上，∴2+

m

2

=0，
∴m=-4，∴圆心（1，-2） 到直线l的距离等于 d=

|1+4-10|

1+4

=

5

，
故直线l被圆截得的弦长为 2

r2-d2

=2

(5+ m2 4 )-5

=2

(5+ 16 4 )-5

=4．
故答案为 4．

点评：本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，判断圆心（1，

m

2

）在直线2x+y=0上，
求出 m值是解题的难点．