Question

（本题满分10分）已知曲线上的动点满足到点的距离比到直线 的距离小．

（1）求曲线的方程；

（2）动点在直线 上，过点作曲线的切线，切点分别为、．

（ⅰ）求证：直线恒过一定点，并求出该定点的坐标；

（ⅱ）在直线上是否存在一点，使得为等边三角形（点也在直线上）？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

【答案】

．解:（1） 曲线的方程          --------------3分

（2）（ⅰ）设，

整理得：

同理可得：

 

又

    --------------------------6分

（ⅱ）由（ⅰ）知中点，

当时，则的中垂线方程为

的中垂线与直线的交点

若为等边三角形，则

解得此时,

当时，经检验不存在满足条件的点

综上可得：满足条件的点存在，坐标为.----------------------10分

 

【解析】略