题目内容
如图，四棱锥P-ABCD，PA⊥平面ABCD，且PA=4，底面ABCD为直角梯形，∠CDA=∠BAD=90°，AB=2，CD=1，
，M、N分别为PD、PB的中点，平面MCN与PA的交点为Q（Ⅰ）求PQ的长度；
（Ⅱ）求截面MCN与底面ABCD所成二面角的大小；
（Ⅲ）求四棱锥A-MCNQ的体积．
【答案】分析：（Ⅰ）设Q（0，0，h），由M，N，C，Q共面知：
，即得到方程组进而求出h=1．即可得答案．
（Ⅱ）面ABCD的法向量为
，再求出面MCN的法向量
=
，利用向量的有关运算求出向量的夹角，进而转化为二面角的平面角．
（Ⅲ）由题意可得：
并且
，得VA-MCNQ=3VA-CMQ，进而转化为VA-CMQ=VC-AMQ，所以即可得到答案．
解答：解：由题设知：以A为原点，AD、AB、AP所在线分别x、y、z轴如图示建立空间直角坐标系，
则有：
，P（0，0，4），
，N（0，1，2），设Q（0，0，h）
（Ⅰ）由M，N，C，Q共面知：
且x+y+z=1，于是有：
即
得h=3
故PQ=1
（Ⅱ）设
面MCN，且
，底面ABCD的法向量为
由
知：
即
取r=1得
，于是有
所以截面MCN与底面ABCD所成二面角为60．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知：
，
于是
，得VA-MCNQ=3VA-CMQ
由∠CDA=∠BAD=90°知CD⊥面PAD，VA-CMQ=VC-AMQ
由
知：
．
点评：解决此类问题的关键是熟悉几何体的结构特征建立空间直角坐标系，进而利用空间向量的有关运算解决长度、体积、空间角等问题．
，即得到方程组进而求出h=1．即可得答案．（Ⅱ）面ABCD的法向量为
，再求出面MCN的法向量
=
，利用向量的有关运算求出向量的夹角，进而转化为二面角的平面角．（Ⅲ）由题意可得：
并且
，得VA-MCNQ=3VA-CMQ，进而转化为VA-CMQ=VC-AMQ，所以即可得到答案．解答：解：由题设知：以A为原点，AD、AB、AP所在线分别x、y、z轴如图示建立空间直角坐标系，
则有：
，P（0，0，4），
，N（0，1，2），设Q（0，0，h）（Ⅰ）由M，N，C，Q共面知：
且x+y+z=1，于是有：
即
得h=3故PQ=1
（Ⅱ）设
面MCN，且
，底面ABCD的法向量为
由
知：
即
取r=1得
，于是有
所以截面MCN与底面ABCD所成二面角为60．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知：
，于是
，得VA-MCNQ=3VA-CMQ由∠CDA=∠BAD=90°知CD⊥面PAD，VA-CMQ=VC-AMQ
由
知：
．点评：解决此类问题的关键是熟悉几何体的结构特征建立空间直角坐标系，进而利用空间向量的有关运算解决长度、体积、空间角等问题．
练习册系列答案
孟建平小学滚动测试系列答案
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