Question

【题目】已知常数数列的前项和为，且

（1）求数列的通项公式；

（2）若且数列是单调递增数列，求实数的取值范围；

（3）若数列满足：对于任意给定的正整数，是否存在使 ?若存在，求的值（只要写出一组即可）；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）见解析

【解析】

（1）利用作差法可证得数列为等差数列，由等差数列性质求得通项公式；

（2）由相邻两项作差，分奇偶讨论结合递增性质即可求得参数的取值范围；

（3）假设存在，列出等式可由p、q的范围判断是否存在.

（1）∵∴，

∴

化简得：（常数），

∴数列是以1为首项，公差为的等差数列；

（2）又∵，，

∴，∴

①当是奇数时，∵，∴，

令，∴

∵

∴，且，∴；

②当是偶数时，∵，∴，

令，∴

∵

∴，且，∴；

综上可得：实数的取值范围是．

（3）由（1）知，，又∵，

设对任意正整数k，都存在正整数，使，

∴，∴

令，则（或）

∴ （或）