Question

【题目】已知数列的前项和为， ，数列满足点在直线上.

(1)求数列， 的通项， ；

(2)令，求数列的前项和；

(3)若，求对所有的正整数都有成立的的范围．

Answer 1

【答案】（1）， ；（2）

【解析】试题分析：（1）通过与作差，进而整理可知数列是首项为、公比为2的等比数列，通过将点代入直线计算可知，进而整理即得结论；（2）利用错位相减法计算即得结论；（3）通过（1）及作差法计算可知数列为单调递减数列，进而问题转化为求的最小值，利用基本不等式计算即得结论.

试题解析：(1)解: ∵，∴,当时， ，∴，∴，∴是首项为，公比为2的等比数列，因此，当时，满足，所以，因为在直线上，所以，而，所以.

(2)∵，∴③，因此④，③-④得： ，∴

(3)证明:由(1)知， ，∵ ，∴数列为单调递减数列；∴当时， 即最大值为1，由可得， ，而当时， 当且仅当时取等号，∴.