Question

已知四面体P-ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，2AC=AB，若四面体P-ABC的体积为，则该球的体积为

1. A.
   
2. B.
   2π
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

D
分析：设该球的半径为R，则AB=2R，2AC=AB=，故AC=R，由于AB是球的直径，所以△ABC在大圆所在平面内且有AC⊥BC，由此能求出球的体积．
解答：设该球的半径为R，
则AB=2R，2AC=AB=，
∴AC=R，
由于AB是球的直径，
所以△ABC在大圆所在平面内且有AC⊥BC，
在Rt△ABC中，由勾股定理，得：
BC²=AB²-AC²=R²，
所以Rt△ABC面积S=×BC×AC=，
又PO⊥平面ABC，且PO=R，四面体P-ABC的体积为，
∴V_P-ABC==，
即R³=9，R³=3，
所以：球的体积V_球=×πR³=×π×3=4π．
故选D．
点评：本题考查四面体的外接球的体积的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化空间问题为平面问题．