Question

已知函数f（x）=x²+bsinx-2，（b∈R），且对任意x∈R，有f（-x）=f（x）．
（1）求b．
（2）讨论函数h(x)=ln(1+x2)-

1

2

f(x)-k的零点个数？

Answer 1

分析：（1）根据对任意x∈R，有f（-x）=f（x）建立等式关系，即可求出b的值；
（2）先令y=ln(1+x2)-

1

2

x2+1，求出该函数的最小值，将k与最小值进行比较，当k＞ln2+

1

2

时，函数无零点，当k＜1或k=ln2+

1

2

时，函数有两个零点，当k=1时，函数有三个零点，当1＜k＜ln2+

1

2

时，函数有四个零点．

解答：解：（1）由f（-x）=（-x）²+bsin（-x）-2=f（x）
得b=0．（4分）
（2）h(x)=ln(1+x2)-

1

2

x2+1-k，
令y=ln(1+x2)-

1

2

x2+1．
所以y′=

2x

1+x2

-x=-

(x+1)x(x-1)

x2+1

令y'=0，则x₁=-1，x₂=0，x₃=1，列表如下：

x	（-∞-1）	-1	（-1，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
y'	+	0	-	0	+	0	-
h（x）	单调递增	极大值ln2+ 1 2	单调递减	极小值1	单调递增	极大值ln2+ 1 2	单调递减

所以当k＞ln2+

1

2

时，函数无零点；
当k＜1或k=ln2+

1

2

时，函数有两个零点；
当k=1时，函数有三个零点．
当1＜k＜ln2+

1

2

时，函数有四个零点．（13分）

点评：本题主要考查了函数的零点以及利用导数研究函数的最值，同时考查了计算能力，属于中档题．