Question

已知函数，x=2是f（x）的一个极值点．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若当x∈[1，+∞）时，恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

解：（1）求导函数，可得f'（x）=x²﹣2bx+2
∵x=2是f（x）的一个极值点
∴f'（2）=4﹣4b+2=0，
∴，
∴f'（x）=x²﹣3x+2=（x﹣1）（x﹣2）
由f'（x）＞0得x＞2或x＜1，
∴函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，1），（2，+∞）；
由f'（x）＜0得1＜x＜2，
∴函数f（x）的单调减区间为（1，2），
（2）由（1）知，函数f（x）在（1，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增
∴当x=2时，函数f（x）取得最小值，
f（x）_min=f（2）=，
x∈[1，+∞）时，恒成立等价于
即a²﹣a＜0，
∴0＜a＜1．