Question

已知函数，x=2是f（x）的一个极值点．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若当x∈[1，3]时，恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）先求导函数，然后根据x=2是f（x）的一个极值点建立等式关系，求出b，然后解不等式f′（x）＞0即可求出函数的单调增区间；
（II）先利用导数求出函数f（x）在区间[1，3]上的最小值，若当x∈[1，3]时，要使恒成立，只需，即可求出a的范围．
解答：解：（Ⅰ）f′（x）=x²-2bx+2．--------------------------------------------------------------（1分）
∵x=2是f（x）的一个极值点，
∴x=2是方程x²-2bx+2=0的一个根，解得．---------------------------（3分）
令f′（x）＞0，则x²-3x+2＞0，解得x＜1或x＞2．---------------------------（5分）
∴函数y=f（x）的单调递增区间为（-∞，1），（2，+∞）．--------------------------（6分）
（Ⅱ）∵当x∈（1，2）时f′（x）＜0，x∈（2，3）时f′（x）＞0，
∴f（x）在（1，2）上单调递减，f（x）在（2，3）上单调递增．--------（8分）
∴f（2）是f（x）在区间[1，3]上的最小值，且 ．--------------（10分）
若当x∈[1，3]时，要使恒成立，只需，----（12分）
即，解得 0＜a＜1．----------------------------------------------------（13分）
点评：本题主要考查了函数的极值，单调性和在闭区间上的最值，同时考查了恒成立问题，属于中档题．