Question

在四棱锥P-ABCD中，△PBC为正三角形，AB⊥平面PBC，AB∥CD，AB=

1

2

DC，DC=

3

BC，E为PD中点．
（1）求证：AE∥平面PBC；
（2）求证：AE⊥平面PDC；
（3）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小．

Answer 1

分析：（1）欲证AE∥平面PBC，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证AE与平面PBC内一直线平行，取PC的中点为F，连接EF，则AE∥BF，又BF?平面PBC，满足定理所需条件；
（2）欲证AE⊥平面PDC，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AE与平面PDC内两相交直线垂直，根据线面垂直的性质可知AE⊥PC，而AE⊥EF，EF∩PC=F，满足定理所需条件；
（3）延长CB交DA于B^/，连接PB^/，取B^/P的中点为H，连接AH，BH，则BH⊥B^/P，由三垂线定理知，AH⊥B^/P，则∠AHB为平面PAD与平面PBC所成锐二面角的平面角，在Rt△AHB中，求出此角即可．

解答：解：（1）证明：取PC的中点为F，连接EF，则EF为△PDC的中位线，即EF平行且等于

1

2

DC．
又∵AB∥CD，
∴AB平行且等于EF，
∴AE∥BF，
又∵BF?平面PBC，
∴四边形AEFB为矩形，
∴AE∥平面PBC．（3分）
（2）证明：∵△PBC为正三角形，F为PC的中点，
∴BF⊥PC
又EF⊥PC，EF∩BF=F，
∴PC⊥平面AEFB，AE⊥PC；
由（1）知AE⊥EF，EF∩PC=F，
∴AE⊥平面PDC．（7分）
（3）延长CB交DA于B^/，连接PB^/，设BC=a，
∵AB=

1

2

DC，
∴BB^/=BP=a，取B^/P的中点为H，连接AH，BH，则BH⊥B^/P，由三垂线定理知，AH⊥B^/P，
∴∠AHB为平面PAD与平面PBC所成锐二面角的平面角．（9分）
在Rt△AHB中，AB=

3

2

a，AH=a，∴sin∠AHB=

3

2

，∠AHB=

π

3

∴平面PAD与平面PBC所成锐二面角为

π

3

．（12分）

点评：本题主要考查了线面平行的判定，以及线面垂直的判定和二面角的度量，同时考查了推理论证与计算的能力，属于中档题．