题目内容

给定an=
1
n+1
+
n
(n∈N*)，则使a1+a2+…+ak为整数的最小正整数k的值是
3
3
．
分析：由an=
1
n+1
+
n
=
n+1
-
n
可考虑利用裂项求出a1+a2+…+ak=
k+1
-1，根据题意可得k+1为完全平方数，从而可求
解答：解：因为an=
1
n+1
+
n
=
n+1
-
n

所以，a1+a2+…+ak=
2
-1+
3
-
2
+…+
k+1
-
k

=
k+1
-1
要使得
k+1
-1为整数，则k+1为完全平方数，则当k=3时符合条件
故答案为：3
点评：本题主要考查了数列求和的裂项求和方法的应用，解题的关键是得到和之后，能够发现k+1为完全平方数得关键条件．
练习册系列答案
相关题目
已知数列{an}满足：a1=1，an+1=(1+
1
n
)an+
1
n
(n∈N*)
（1）设bn=
an
n
，求数列{bn}的通项公式；
（2）若对任意给定的正整数m，使得不等式an+t≥2m（n∈N*）成立的所有n中的最小值为m+2，求实数t的取值范围．
（2011•广东模拟）给定函数f(x)=
x2
2(x-1)

（1）试求函数f（x）的单调减区间；
（2）已知各项均为负的数列{an}满足，4Sn•f(
1
an
)=1，求证：-
1
an+1
＜ln
n+1
n
＜-
1
an
；
（3）设bn=-
1
an
，Tn为数列 {bn} 的前n项和，求证：T2012-1＜ln2012＜T2011．
已知函数f(x)=log3
3
x
1-x
，M(x1，y1)，N(x2，y2)是f（x）图象上的两点，横坐标为
1
2
的点P满足2
OP
=
OM
+
ON
（O为坐标原点）．
（1）求证：y1+y2为定值；
（2）若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)，其中n∈N*，n≥2令an=
1
6
，n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
，n≥2
，其中n∈N*，Tn为数列{an}的前n项和，若Tn＜m（Sn+1+1）对一切n∈N*都成立，试求m的取值范围．
（3）对于给定的实数a（a＞1）是否存在这样的数列{an}，使得f(an)=log3(
3
an+1)，且a1=
1
a-1
？若存在，求出a满足的条件；若不存在，请说明理由．
给定an=
1
n+1
+
n
(n∈N*)，则使a1+a2+…+ak为整数的最小正整数k的值是______．

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