Question

已知数列{a_n}满足：a1=1，an+1=(1+

1

n

)an+

1

n

(n∈N*)
（1）设bn=

an

n

，求数列{b_n}的通项公式；
（2）若对任意给定的正整数m，使得不等式a_n+t≥2m（n∈N^*）成立的所有n中的最小值为m+2，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）将an+1=(1+

1

n

)an+

1

n

(n∈N*)变形构造得出

an+1

n+1

=

an

n

+

1

n(n+1)

，即有bn+1-bn =

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，用叠加法能求数列{b_n}的通项公式．
（2）由（1）a_n=2n-1代入所给的不等式，解此关于n的不等式，解集内最小正整数为m+2，再建立相关不等式求t的取值范围．

解答：解：（1）由an+1=(1+

1

n

)an+

1

n

得

an+1

n+1

=

an

n

+

1

n(n+1)

，
即bn+1-bn =

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

∴b2-b1 =1-

1

2

b3-b2 =

1

2

-

1

3

…
bn-bn-1 =

1

n-1

-

1

n

，
以上各式相加得bn-b1=2-

1

n

，bn=2-

1

n

（n≥2）
又b₁=a₁=1，也适合上式，∴bn=2-

1

n

．
（2）由

an

n

=bn=2-

1

n

?an=2n-1，
则an+t≥2m?2n-1+t≥2m?n≥m+

1-t

2

，
据题意，区间[m+

1-t

2

，+∞)内的最小正整数为m+2，
所以m+1＜m+

1-t

2

≤m+2，
解得-3≤t＜-1

点评：本题考查数列通项公式、叠加法求通项、不等式恒成立．考查转化构造、分析解决问题、计算、逻辑思维等能力．