Question

（2012•芜湖二模）已知

a

=(sinx，1)，

b

=(cosx，-

1

2

)，若f(x)=

a

•(

a

-

b

)，求：
（1）f（x）的最小正周期及对称轴方程．
（2）f（x）的单调递增区间．
（3）当x∈[0，

π

2

]时，函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：先由向量的运算结合三角函数公式化简为f(x)=2-

2

2

sin(2x+

π

4

)，
（1）由公式易求得得周期和对称轴；
（2）转化为函数y=sin(2x+

π

4

)的减区间；
（3）由x的范围开始逐步求解范围，可得答案．

解答：解：由题意可得：f(x)=

a

2-

a

•

b

=sin2x+1-(sinxcosx-

1

2

)=

1-cos2x

2

+

3

2

-

1

2

sin2x
=2-

1

2

(sin2x+cos2x)=2-

2

2

sin(2x+

π

4

)…（4分）
（1）由上可知：T=

2π

2

=π…（5分）
由2x+

π

4

=kπ+

π

2

解得：对称轴方程为x=

kπ

2

+

π

8

(k∈z)…（7分）
（2）f（x）增区间即为sin(2x+

π

4

)的减区间，
由2kπ+

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

，解得
f（x）的单调递增区间为[kπ+

π

8

，kπ+

5

8

π](k∈z)…（10分）
（3）∵0≤x≤

π

2

∴

π

4

≤2x+

π

4

≤

5

4

π
∴-

2

2

≤sin(2x+

π

4

)≤1
∴值域为[2-

2

2

，

5

2

]…（13分）

点评：本题为三角函数和向量的综合应用，熟练利用公式是解决问题的关键，属中档题．