Question

常数a，b和正变量x，y满足a•b=16，+=，若x+2y的最小值为64，则a^b=________．

Answer 1

64
分析：由+=，得，∴x+2y=（x+2y）（），
利用基本不等式可求得其最小值，从而得到一方程，再与ab=16联立方程组即可解得a、b值．
解答：由题意知a＞0，b＞0，由+=可得，
∵ab=16，∴x+2y=（x+2y）（）
=2a+8b+≥2a+8b+2
=2a+8b+8=2a+8b+32，当且仅当时取等号．
∴2a+8b+32=64，即a+4b=16①．又ab=16②联立①②解得a=8，b=2．
∴a^b=8²=64．
故答案为：64．
点评：本题考查了基本不等式求最值，难度较大，解决本题的技巧是“1”的代换．求最值时，尽量避免多次使用基本不等式以保证能取到等号．