Question

常数a，b和正变量x，y满足a•b=16，

a

x

+

2b

y

=

1

2

，若x+2y的最小值为64，则a^b=

64

．

Answer 1

分析：由

a

x

+

2b

y

=

1

2

，得

2a

x

+

4b

y

=1，∴x+2y=（x+2y）（

2a

x

+

4b

y

），
利用基本不等式可求得其最小值，从而得到一方程，再与ab=16联立方程组即可解得a、b值．

解答：解：由题意知a＞0，b＞0，由

a

x

+

2b

y

=

1

2

可得

2a

x

+

4b

y

=1，
∵ab=16，∴x+2y=（x+2y）（

2a

x

+

4b

y

）
=2a+8b+

4ay

x

+

4bx

y

≥2a+8b+2

4ay x • 4bx y

=2a+8b+8

ab

=2a+8b+32，当且仅当

4ay

x

=

4bx

y

时取等号．
∴2a+8b+32=64，即a+4b=16①．又ab=16②联立①②解得a=8，b=2．
∴a^b=8²=64．
故答案为：64．

点评：本题考查了基本不等式求最值，难度较大，解决本题的技巧是“1”的代换．求最值时，尽量避免多次使用基本不等式以保证能取到等号．