Question

（2013•保定一模）选修4-4：坐标系与参数方程
已知：直线l的参数方程为

x= 1 2 t y= 3 2 t+1

（t为参数），曲线C的参数方程为

x=2+cosθ y=sinθ

（θ为参数）．
（1）若在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4，

π

3

），判断点P与直线l的位置关系；
（2）设点Q是曲线C上的一个动点，求点Q到直线l的距离的最大值与最小值的差．

Answer 1

分析：（1）把点P的极坐标化为直角坐标，把直线l的参数方程化为直角坐标方程，根据点P的坐标不满足直线l的方程，可得点P不在直线l上．
（2）把曲线C的方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离d的值，根据点Q到直线l的距离的最小值为d-r，最大值为d+r，从而求得点Q到直线l的距离的最大值与最小值的差．

解答：解：（1）把点P的极坐标为（4，

π

3

）化为直角坐标为（2，2

3

），
把直线l的参数方程

x= 1 2 t y= 3 2 t+1

（t为参数），化为直角坐标方程为 y=

3

x+1，
由于点P的坐标不满足直线l的方程，故点P不在直线l上．
（2）∵点Q是曲线C上的一个动点，曲线C的参数方程为

x=2+cosθ y=sinθ

（θ为参数）．
把曲线C的方程化为直角坐标方程为 （x-2）²+y²=1，表示以C（2，0）为圆心、半径等于1的圆．
圆心到直线的距离d=

|2 3 -0+1|

3+1

=

3

+

1

2

，
故点Q到直线l的距离的最小值为d-r=

3

-

1

2

，最大值为d+r=

3

+

3

2

，
∴点Q到直线l的距离的最大值与最小值的差为2．

点评：本题主要考查把点的极坐标化为直角坐标，把参数方程化为直角坐标方程，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．