Question

已知A={x|x²+x-12=0}，B={x|x²-2ax+b=0}，问是否存在实数a、b，使A∩B=B，若存在，求出a，b的值或a，b满足的关系式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：因为A={x|x²+x-12=0}，求出集合A，B={x|x²-2ax+b=0}，存在实数a、b，使A∩B=B，说明B=∅，或者B⊆A，利用此信息进行求解；

解答：解：∵A={x|x²+x-12=0}，
∴A={3，-4}，B={x|x²-2ax+b=0}，假设存在实数a、b，使A∩B=B，
若B=∅，说明方程x²-2ax+b=0无解，可得△=（-2a）²-4b=4a²-4b＜0，
若B≠∅，说明方程x²-2ax+b=0有解，
当△=4a²-4b=0①，方程只有一个根，当这个根为3，可得3²-6a+b=0②，
联立方程①②解得a=3，b=9；
当这个根为-4时，可得（-4）²-6a+b=0③，
联立①③解得a无实数解；
当△＞0，说明方程有两个根分别为3和-4，可得

-2a=1 b=-12

，
解得

a=- 1 2 b=-12

，
综上：存在实数a、b，使A∩B=B，需要满足：a=3，b=9；或者a=-

1

2

，b=-12或者a²-b＜0；

点评：此题主要考查函数的零点问题以及集合交集的定义，此题是一道基础题，解题的过程中用到了分类讨论的思想，这也是高考的热点问题；