Question

设数列满足且

（Ⅰ）求的值，使得数列为等比数列；（Ⅱ）求数列和的通项公式；

（Ⅲ）令数列和的前项和分别为和，求极限的值．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ），．

（Ⅲ）

解析:

（Ⅰ）令，其中为常数，若为等比数列，则存在使得

．

又．

所以．

由此得2分

由及已知递推式可求得，把它们代入上式后得方程组

   消去解得．…4分

下面验证当时，数列为等比数列．

  ，

，从而是公比为的等比数列．

同理可知是公比为的等比数列，于是为所求．……6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）的结果得，，解得

，．…9分

（Ⅲ）令数列的通项公式为，它是公比为的等比数列，令其前项和为； 令数列的通项公式为，它是公比为的等比数列，令其前项和为．  由第（Ⅱ）问得，．

      ．  由于数列的公比，则．

     ，由于，则，

于是，所以……12