Question

【题目】已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，讨论函数的零点个数.

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2)见解析

【解析】

（1）讨论a的范围，得出f′（x）＞0和f′（x）＜0的解集，得出f（x）的单调性；（2）求出f（x）的极大值，判断极大值小于0，根据f（x）的单调性得出f（x）的零点个数．

（1），

令，其对称轴为，令，则.

当时，，所以在上单调递增；

当时，对称轴为，

若，即，恒成立，所以，所以在上单调递增；

若时，设的两根，，

当时，，所以，所以在上单调递增，

当时，，所以，所以在上单调递减，

当时，，所以，所以在上单调递增，

综上所述：当时， 在上单调递增；

若时， 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；

（2）当时，由（1）知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，下面研究的极大值，

又，所以，

令，则（），可得在上单调递增，在上单调递减，且的极大值，所以，所以，

当时， 单调递增，所以

当时， 在上单调递减，所以

当时， 单调递增，

且，

，所以存在，使得，

又当时， 单调递增，所以只有一个零点，

综上所述，当时，在上只有一个零点.