Question

 (本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效)

如图，四棱锥中， ∥,，侧面为等边三角形. .

(I) 证明：

(II)    求AB与平面SBC所成角的大小。

 

 

Answer 1

【答案】

 

【分析】第（I）问的证明的突破口是利用等边三角形SAB这个条件，找出AB的中点E，连结SE，DE，就做出了解决这个问题的关键辅助线。

(II)本题直接找线面角不易找出，要找到与AB平行的其它线进行转移求解。

【命题意图】以四棱锥为载体考查线面垂直证明和线面角的计算，注重与平面几何的综合.

解法一：(Ⅰ)取中点，连结，则四边形为矩形，，连结，则，.

又,故,

所以为直角.     ………………3分

由,,,得平面,所以.

与两条相交直线、都垂直.

所以平面.                                 ………………6分

另解:由已知易求得,于是.可知,同理可得,又.所以平面.   ………………6分

(Ⅱ)由平面知，平面平面.

作,垂足为,则平面ABCD,.

作,垂足为,则.

连结.则.

又,故平面,平面平面.……9分

作,为垂足,则平面.

,即到平面的距离为.

由于,所以平面,到平面的距离也为.

设与平面所成的角为,则,.……12分

解法二：以为原点,射线为轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系.

设,则、.

又设,则.

(Ⅰ),

由得

,

故.

由得,

又由得,

即,故.                 ………………3分

于是,

.

故,又,

所以平面.                                  ………………6分

(Ⅱ)设平面的法向量,

则.

又,

故                                 ………………9分

取得,又

.

故与平面所成的角为.                ………………12分