Question

如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD＝，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2，O为AD中点．

(Ⅰ)求证：PO⊥平面ABCD；

(Ⅱ)求异面直线PB与CD所成角的余弦值；

(Ⅲ)求点A到平面PCD的距离．

Answer 1

答案：
解析：

解法一： 　　(Ⅰ)证明：在△PAD卡中PA＝PD，O为AD中点，所以PO⊥AD． 　　又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO平面PAD， 　　所以PO⊥平面ABCD． 　　(Ⅱ)连结BO，在直角梯形ABCD中，BC∥AD，AD＝2AB＝2BC， 　　有OD∥BC且OD＝BC，所以四边形OBCD是平行四边形， 　　所以OB∥DC． 　　由(Ⅰ)知PO⊥OB，∠PBO为锐角， 　　所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角． 　　因为AD＝2AB＝2BC＝2，在Rt△AOB中，AB＝1，AO＝1，所以OB＝， 　　在Rt△POA中，因为AP＝，AO＝1，所以OP＝1， 　　在Rt△PBO中，PB＝， 　　cos∠PBO＝， 　　所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为． 　　(Ⅲ)由(Ⅱ)得CD＝OB＝， 　　在Rt△POC中，PC＝， 　　所以PC＝CD＝DP，S△PCD＝·2＝． 　　又S△＝ 　　设点A到平面PCD的距离h， 　　由VP－ACD＝VA－PCD， 　　得S△ACD·OP＝S△PCD·h， 　　即×1×1＝××h， 　　解得h＝． 　　解法二： 　　(Ⅰ)同解法一， 　　(Ⅱ)以O为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O－xyz． 　　则A(0，－1，0)，B(1，－1，0)，C(1，0，0)， 　　D(0，1，0)，P(0，0，1)． 　　所以＝(－1，1，0)，＝(t，－1，－1)， 　　∞〈、〉＝， 　　所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为， 　　(Ⅲ)设平面PCD的法向量为n＝(x0，y0，x0)， 　　由(Ⅱ)知＝(－1，0，1)，＝(－1，1，0)， 　　则所以 　　即x0＝y0＝x0， 　　取x0＝1，得平面的一个法向量为n＝(1，1，1)． 　　又＝(1，1，0)． 　　从而点A到平面PCD的距离d＝ 　　本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成角、点到平面的距离等基本知识，考查空间想象能力，逻辑思维能力和运算能力．满分12分．