Question

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函数f（x）=图象上任意两点，且，已知点M的横坐标为．
（1）求点M的纵坐标；
（2）若，其中n∈N^*且n≥2，
①求S_n；
②已知，其中n∈N^*，T_n为数列{a_n}的前n项和，若T_n≤λ（S_n+1+1）对一切n∈N^*都成立，试求λ的最小正整数值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题设条件知M是AB的中点，由中点坐标公式可以求出M点的给坐标．
（2）①=，即 以上两式相加后两边再同时除以2就得到S_n．②当n≥2时，根据题设条件，由T_n＜λ（S_n+1+1）得 ，∴，再由均值不等式求出λ的取值范围．
解答：解：（1）依题意由知M为线段AB的中点．
又∵M的横坐标为1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）即
∴
即M点的纵坐标为定值．
 （2）①由（Ⅰ）可知f（x）+f（1-x）=1，
又∵n≥2时
∴
两式想加得，2S_n=n-1

②当n≥2时，==4（）
又n=1时，a₁=也适合．
∴a_n=4（-）                                                                                     
∴=
由恒成立
而（当且仅当n=2取等号）
∴，∴λ的最小正整数为1．
点评：本题考查了数列与函数、函数的图象、不等式等综合内容，函数图象成中心对称的有关知识，考查相关方法，考查了数列中常用的思想方法，如倒序相加法，裂项相消法求数列前n项的和，利用函数与方程的思想，转化与化归思想解答热点问题--有关恒成立问题．