Question

已知函数f（x）=-x²+3x+（sinθ）lnx
（1）当sinθ=-时，求f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在其定义域内不是单调函数，求θ的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）当sinθ=-时，f（x）=-x²+3x-2lnx（x＞0），求导函数，令f′（x）＞0，可得函数的单调递增区间；令f′（x）＜0，x＞0，可得函数的单调递减区间；
（2）求导函数，构造新函数，根据函数f（x）在（0，+∞）上不是单调函数，即可求θ的取值范围．
解答：解：（1）当sinθ=-时，f（x）=-x²+3x-2lnx（x＞0）
∴
令f′（x）＞0，可得1＜x＜2；令f′（x）＜0，x＞0，可得x＜1或x＞2
∴函数的单调递增区间为（1，2），单调递减区间为（0，1）或（2，+∞）
（2）∵
令y=-2x²+6x+9sinθ（x＞0），其对称轴为
∵函数f（x）在（0，+∞）上不是单调函数
∴△=36+72sinθ＞0
∴
∴
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查三角函数知识，属于中档题．