Question

α为锐角是sinα+cosα＞1的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件

Answer 1

分析：根据题意，先判断充分性，由和角公式可得sinα+cosα=

2

sin（α+45°），又由α的范围，可得α+45°的范围，进而可得

2

sin（α+45°）＞1，可得α为锐角是sinα+cosα＞1的充分条件；再来判断必要性，举出α=390°的反例，可得α为锐角是sinα+cosα＞1的不必要条件，综合可得答案．

解答：解：若α为锐角，则0°＜α＜90°，则sinα+cosα=

2

sin（α+45°），
又由0°＜α＜90°，则45°＜α+45°＜135°，则

2

2

＜sin（α+45°）＜

2

，
故sinα+cosα=

2

sin（α+45°）＞1，
故α为锐角是sinα+cosα＞1的充分条件，
反之，若α=390°时，sinα=

1

2

，cosα=

3

2

，
则sinα+cosα=

1+ 3

2

＞1，
即sinα+cosα＞1，但α为锐角不成立；
故α为锐角是sinα+cosα＞1的不必要条件，
综合可得：α为锐角是sinα+cosα＞1的充分不必要条件，
故选A．

点评：本题考查充分、必要条件的判断，关键要利用三角函数的和角公式，其次要明确锐角的范围．