Question

在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c．
（1）若c=2，C=60°，且△ABC的面积为2

3

，求△ABC的周长；
（2）若sinC+sin（B-A）=sin2A，试判断△ABC的形状．

Answer 1

分析：（1）利用三角形面积公式列出关系式，将sinC的值代入求出ab的值，再利用余弦定理列出关系式，将c与cosC的值代入求出a+b的值，即可确定出周长；
（2）将sinC=sin（A+B）代入已知等式，利用和差化积公式变形，根据cosA=0与cosA≠0，即可确定出三角形形状．

解答：解：（1）∵C=60°，S_△ABC=

1

2

absinC=2

3

，
∴ab=8，
∵c=2，cosC=

1

2

，
∴由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=（a+b）²-3ab，
即4=（a+b）²-24，
解得：a+b=2

7

，
则△ABC周长为2

7

+2；
（2）将sinC=sin（A+B）代入已知等式得：sin（A+B）+sin（B-A）=sin2A，
整理得：2sinBcosA=2sinAcosA，
当cosA=0，即A为直角时，满足题意，此时△ABC为直角三角形；
当cosA≠0时，得到sinA=sinB，即A=B，此时△ABC为等腰三角形，
则△ABC为等腰三角形或直角三角形．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，和差化积公式，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．