Question

已知函数f（x）=ax⁴+bx³+cx²+dx+e（a，b，c，d，∈R）是定义在R上的奇函数，且f（x）在x=处取得极小值-．设f′（x）表示f（x）的导函数，定义数列{a_n}满足：a_n=f′（）+2（n∈N^*））．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）对任意m，n∈N^*，若m≤n，证明：1+≤（1+）^m＜3；
（Ⅲ）（理科）试比较（1+）^m+1与（1+）^m+2的大小．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根据函数f（x）=ax⁴+bx³+cx²+dx+e（a，b，c，d，∈R）是定义在R上的奇函数，可得f（-x）=-f（x），从而a=c=e=0，再利用f（x）在x=处取得极小值-，建立方程组，即可求得函数解析式，利用a_n=f′（）+2，可得数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知1+≤（1+）^m＜3等价于，利用二项展开式，及放缩法可得结论；
（Ⅲ）解：＞等价于（n+1）ln（1+）＞（n+1+1）ln（1+），构造函数f（x）=（x+1）ln（1+）（x≥1），则上式等价于证f*n）＞f（n+1）成立，求导函数，求得函数的单调性，即可得到结论．
解答：（Ⅰ）解：f′（x）=4ax³+3bx²+2cx+d，
∵函数f（x）=ax⁴+bx³+cx²+dx+e（a，b，c，d，∈R）是定义在R上的奇函数，
∴f（-x）=-f（x），∴ax⁴-bx³+cx²-dx+e=-（ax⁴+bx³+cx²+dx+e），∴a=c=e=0
∴f（x）=bx³+dx，f′（x）=3bx²+d，
∵f（x）在x=处取得极小值-
∴，∴，∴
∴f（x）=，∴f′（x）=x²-2，
∴a_n=f′（）+2=n；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知1+≤（1+）^m＜3等价于．
因为≥=1+（当m=1时取等号）．
又m≤n，∴=+…+＜1+1++…+＜1+1++…+＜3
（Ⅲ）解：＞等价于（n+1）ln（1+）＞（n+1+1）ln（1+），
构造函数f（x）=（x+1）ln（1+）（x≥1），则上式等价于证f*n）＞f（n+1）成立，所以．
又令g（t）=ln（1+t）-t（t＞0），则g′（t）=-1＜0当t＞0时成立，即得g（t）在（0，+∞）上单调递减，
于是g（t）＜g（0）=0成立，即ln（1+t）-t＜0，即ln（1+t）＜t（t＞0）成立，
故ln（1+）＜成立．
所以，由此知f（x）单调递减，所以f（n）＞f（n+1），
所以＞，
所以（1+）^m+1＞（1+）^m+2．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查不等式的证明，考查放缩法的运用，难度较大．