Question

圆心在x轴上，半径为

2

的圆M位于y轴的右侧，且与直线x+y=0相切．
（1）求圆M的方程；
（2）若圆M与曲线C：y（y-mx-m）=0有四个不同交点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设圆心M（a，0），利用圆心在x轴上、半径为

2

的圆C与直线x+y=0相切，可得圆心到直线x+y=0的距离等于半径，根据圆M位于y轴右侧，即可求得圆M的方程；
（2）根据圆与y=0有两交点，由两曲线要有4个交点可知，圆与y-mx-m=0（m≠0）要有2个交点，根据圆心到直线的距离d=

|0-2m-m|

1+m2

＜

2

且m≠0，即可写出满足题意的m的范围．

解答：解：（1）设圆心M（a，0）
∵圆心在x轴上、半径为

2

的圆C与直线x+y=0相切，
∴圆心到直线x+y=0的距离为

|a|

2

=

2

，
∴a=±2
又圆M位于y轴右侧，∴a=2，
∴圆M的方程为（x-2）²+y²=2；
（2）由（1）知，圆M的圆心坐标为（2，0），半径r=

2

；
C：y（y-mx-m）=0表示两条直线y=0和y-mx-m=0（m≠0），
∵y=0与圆M有两个不同的交点，
∴圆M与曲线C：y（y-mx-m）=0有四个不同交点，等价于直线y-mx-m=0（m≠0）与圆M有两个不同的交点，
∴圆心到直线的距离d=

|0-2m-m|

1+m2

＜

2

且m≠0，
∴m∈（-

14

7

，0）∪（0，

14

7

）．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式的运用．本题的突破点是理解曲线C：y（y-mx-m）=0表示两条直线．