题目内容
（2013•崇明县二模）如图：已知四棱锥P-ABCD，底面是边长为3的正方形ABCD，PA⊥面ABCD，点M是CD的中点，点N是PB的中点，连接AM、AN、MN．（1）求证：AB⊥MN；
（2）若MN=5，求二面角N-AM-B的余弦值．
分析：（1）四棱锥P-ABCD的底面是边长为3的正方形ABCD，且PA⊥面ABCD，由此得到AD，AB，AP两两互相垂直，分别以AD、AB、AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设出AP长度，则可得到图中各点坐标，求出向量
，
，由它们的数量积等于0证得AB⊥MN；
（2）利用MN=5，求出AP的长度，分别求出平面AMB和平面AMN的一个法向量，利用两个平面的法向量所成的角求二面角N-AM-B的余弦值．
| AB |
| MN |
（2）利用MN=5，求出AP的长度，分别求出平面AMB和平面AMN的一个法向量，利用两个平面的法向量所成的角求二面角N-AM-B的余弦值．
解答：
（1）证明：因为底面是边长为3的正方形，PA⊥面ABCD，
所以AP⊥AD⊥AB．如图，
分别以AD、AB、AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设PA=t
则A(0，0，0)、B(0，3，0)、M(3，
，0)、N(0，
，
)
得
=(0，3，0)，
=(-3，0，
)．
∴
•
=(0，3，0)•(-3，0，
)=0，所以AB⊥MN；
（2）解：由
=(-3，0，
)，得|
|=
=5，
解得t=8，即PA=8．
取平面AMB的一个法向量为
=(0，0，1)
设平面AMN的法向量
=(x，y，z)，又
=(3，
，0)，
=(0，
，4)
由
得：
，取y=-2，得x=1，z=
．
所以平面AMN的一个法向量是
=(1，-2，
)，
设二面角N-AM-B为α，则cosα=
=
=
．
所以二面角N-AM-B的余弦值为
．
（1）证明：因为底面是边长为3的正方形，PA⊥面ABCD，所以AP⊥AD⊥AB．如图，
分别以AD、AB、AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设PA=t
则A(0，0，0)、B(0，3，0)、M(3，
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| t |
| 2 |
得
| AB |
| MN |
| t |
| 2 |
∴
| AB |
| MN |
| t |
| 2 |
（2）解：由
| MN |
| t |
| 2 |
| MN |
9+
|
解得t=8，即PA=8．
取平面AMB的一个法向量为
| n1 |
设平面AMN的法向量
| n2 |
| AM |
| 3 |
| 2 |
| AN |
| 3 |
| 2 |
由
|
|
| 3 |
| 4 |
所以平面AMN的一个法向量是
| n2 |
| 3 |
| 4 |
设二面角N-AM-B为α，则cosα=
| ||||
|
|
| ||||
|
3
| ||
| 89 |
所以二面角N-AM-B的余弦值为
3
| ||
| 89 |
点评：本题考查了直线与平面垂直的性质，考查了利用空间向量求二面角的大小，利用空间向量求二面角的大小时，关键是分清两个平面的法向量所成的角与二面角的关系，此题是中档题．
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