题目内容

函数f(x)=
x
x+1
，数列{an}满足：an＞0，a1=1，an+1=f(an)，n∈N*．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若bn=
2
an
+1，对任意正整数n，不等式
kn+1
(1+
1
b1
)(1+
1
b2
)(1+
1
b3
)…(1+
1
bn
)
-
kn
2+bn
≤0恒成立，求正数k的取值范围．
分析：（Ⅰ）由已知，an+1=
an
an+1
，变形
1
an+1
-
1
an
=1，构造等差数列{
1
an
}，通过{
1
an
}的通项公式求数列{an}的通项公式
（Ⅱ）由已知得k≤
(1+
1
3
)(1+
1
5
)…(1+
1
2n+1
)
2n+3
，设cn=
(1+
1
3
)(1+
1
5
)…(1+
1
2n+1
)
2n+3
考查cn的最小值，
由于cn无法化简，考虑通过其增减性求最小值．
解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=
x
x+1
，∴an+1=
an
an+1
，∴
1
an+1
-
1
an
=1
∴数列{
1
an
}是首项
1
a1
=1，公差d=1的等差数列，
1
an
=1+（n-1）=n
∴an=
1
n
．
（Ⅱ）由已知得k≤
(1+
1
3
)(1+
1
5
)…(1+
1
2n+1
)
2n+3


设cn=
(1+
1
3
)(1+
1
5
)…(1+
1
2n+1
)
2n+3

则
cn+1
cn
=
2n+4
2n+3
•
2n+5
＞1，所以数列{cn}递增，
∴cn的最小值为c1=
4
5
15
，
∴只需0＜k≤
4
5
15
点评：本小题主要考查数列的通项公式求解，函数单调性的应用、数列与不等式的综合等基础知识，考查运算求解能力，考查方程思想、化归与转化思想．
练习册系列答案
相关题目
（Ⅰ）已知函数f(x)=
x
x+1
．数列{an}满足：an＞0，a1=1，且
an+1
=f(
an
)，记数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn=
2
2
[
1
an
+(
2
+1)n]．求数列{bn}的通项公式；并判断b4+b6是否仍为数列{bn}中的项？若是，请证明；否则，说明理由．
（Ⅱ）设{cn}为首项是c1，公差d≠0的等差数列，求证：“数列{cn}中任意不同两项之和仍为数列{cn}中的项”的充要条件是“存在整数m≥-1，使c1=md”．
已知函数f(x)=
x
x+1
，g（x）与f（x）的图象关于直线y=x对称，则f(1)+g(
1
2
)=
 
．
已知函数f(x)=
xx-1

（1）判断函数f（x）在区间[2，5]上的单调性．
（2）求函数f（x）在区间[2，5]上的最大值与最小值．
（2013•资阳一模）函数f(x)=
x
x
-1
的定义域为（　　）
函数f（x）的定义域为A，若x1，x2∈A且f（x1）=f（x2）时总有x1=x2，则称f（x）为单函数，例如，函数f（x）=2x+1（x∈R）是单函数．下列命题：
①函数f（x）=x2（x∈R）是单函数；
②函数f(x)=
xx-1
是单函数；
③若f（x）为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，，则f（x1）≠f（x2）；
④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．
其中的真命题是
②③④
②③④
．（写出所有真命题的编号）

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