Question

已知函数f(x)=

x

x-1

（1）判断函数f（x）在区间[2，5]上的单调性．
（2）求函数f（x）在区间[2，5]上的最大值与最小值．

Answer 1

分析：（1）定义法：设x₁，x₂∈[2，5]且x₁＜x₂，通过作差比较出 f（x₁）与f（x₂）的大小，根据单调性的定义即可判断其单调性；
（2）由（1）知f（x）在[2，5]上的单调性，根据单调性即可求得f（x）在[2，5]上的最值；

解答：解：（1）f（x）在[2，5]上单调递减．
设x₁，x₂∈[2，5]且x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=

x1

x1-1

-

x2

x2-1

=

x1(x2-1)-x2(x1-1)

(x1-1)(x2-1)

=

x2-x1

(x1-1)(x2-1)

，
∵2≤x₁＜x₂≤5，∴x₂-x₁＞0，（x₁-1）（x₂-1）＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
所以函数f(x )=

x

x-1

在区间[2，5]上为减函数；
（2）由（1）知，f（x）在区间[2，5]上单调递减，
所以f（x）在[2，5]上的最大值是：f(2)=

2

2-1

=2，f（x）在区间[2，5]上的最小值是：f(5)=

5

5-1

=

5

4

．

点评：本题考查函数的单调性及其应用，属基础题，定义是解决该类题目的基本方法．