已知函数f(x)＝x3+mx2-m2x+1(m为常数.且m＞0)有极大值9． (Ⅰ)求m的值, (Ⅱ)若斜率为-5的直线是曲线y＝f(x)的切线.求此直线方程．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

已知函数f(x)＝x³＋mx²－m²x＋1(m为常数，且m＞0)有极大值9．

(Ⅰ)求m的值；

(Ⅱ)若斜率为－5的直线是曲线y＝f(x)的切线，求此直线方程．

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)f’(x)＝3x²＋2mx－m²＝(x＋m)(3x－m)＝0，则x＝－m或x＝m，

　　当x变化时，f’(x)与f(x)的变化情况如下表：

　　从而可知，当x＝－m时，函数f(x)取得极大值9，

　　即f(－m)＝－m³＋m³＋m³＋1＝9，∴m＝2．

　　(Ⅱ)由(Ⅰ)知，f(x)＝x³＋2x²－4x＋1，

　　依题意知f’(x)＝3x²＋4x－4＝－5，∴x＝－1或x＝－．

　　又f(－1)＝6，f(－)＝，

　　所以切线方程为y－6＝－5(x＋1)，或y－＝－5(x＋)，

　　即5x＋y－1＝0，或135x＋27y－23＝0．

　　本小题主要考查应用导数研究函数性质的方法和基本运算能力．(满分12分)

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已知函数f(x)＝x|m－x|(x∈R)，且f(4)＝0.

(1)求实数m的值；

(2)作出函数f(x)的图像；

(3)根据图像指出f(x)的单调递减区间；

(4)根据图像写出不等式f(x)>0的解集；

(5)求当x∈[1,5)时函数的值域．

已知函数f(x)＝log_a(x＋1)，g(x)＝2log_a(2x＋t)(t∈R)，其中x∈[0,15]，a＞0，且a≠1.
(1)若1是关于x的方程f(x)－g(x)＝0的一个解，求t的值；
(2)当0＜a＜1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求t的取值范围；

已知函数f(x)＝|x＋1|，g(x)＝2|x|＋a.

(1)当a＝0时，解不等式f(x)≥g(x)；

(2)若任意x∈R，f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围．

已知函数f(x)＝x3＋x2－ax－a，x∈R，其中a＞0.

（1）求函数f(x)的单调区间；

（2）若函数f(x)在区间(－2,0)内恰有两个零点，求a的取值范围；

（3）当a＝1时，设函数f(x)在区间[t，t＋3]上的最大值为M(t)，最小值为m(t)，记g(t)＝M(t)－m(t)，求函数g(t)在区间[－3，－1]上的最小值.

（本小题满分13分）(第一问8分，第二问5分)

已知函数f(x)＝2lnx，g(x)＝ax²＋3x.

（1）设直线x＝1与曲线y＝f(x)和y＝g(x)分别相交于点P、Q，且曲线y＝f(x)和y＝g(x)在点P、Q处的切线平行，若方程f(x²＋1)＋g(x)＝3x＋k有四个不同的实根，求实数k的取值范围；

（2）设函数F(x)满足F(x)＋x［f′(x)－g′(x)］＝－3x²－(a＋6)x＋1.其中f′(x)，g′(x)分别是函数f(x)与g(x)的导函数；试问是否存在实数a，使得当x∈(0,1］时，F(x)取得最大值，若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由.

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