Question

2．若函数f（x）=2^|x-a|（a∈R）满足f（1+x）=f（3-x），且f（x）在[m，+∞）单调递增，则实数m的最小值为（　　）

• A． -2
• B． -1
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 由f（x）的解析式便知f（x）关于x=a对称，而由f（1+x）=f（3-x）知f（x）关于x=2对称，从而得出a=2，这样便可得出f（x）的单调递增区间为[2，+∞），而f（x）在[m，+∞）上单调递增，从而便得出m的最小值为2．

解答 解：∵f（x）=2^|x-a|；
∴f（x）关于x=a对称；
又f（1+x）=f（3-x）；
∴f（x）关于x=2对称；
∴a=2；
∴$f（x）={2}^{|x-2|}=\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x-2}}&{x≥2}\\{{2}^{-x+2}}&{x＜2}\end{array}\right.$；
∴f（x）的单调递增区间为[2，+∞）；
又f（x）在[m，+∞）上单调递增；
∴实数m的最小值为2．
故选：C．

点评 考查函数图象的对称性，清楚f（x）=|x-a|的图象关于x=a对称，由f（x+a）=f（b-x）知f（x）关于直线x=$\frac{a+b}{2}$对称，以及指数函数和分段函数的单调性．