Question

设函数．
（1）当m=1，x＞1时，求证：f（x）＞0；
（2）若对于，均有f（x）＜2成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）当m=1时，先求出函数的导函数，对?x∈（1，+∞），有f′（x）＞0，则f（x）在（1，+∞）为单调增函数，从而f（x）＞f（1）=0；
（2）对任意x∈[1，]，则f′（x）＜2 恒成立等价于，然后讨论m的正负利用导数研究函数在上的最大值即可求出m的范围．
解答：解：（1）当m=1时，f（x）=x-，
 对?x∈（1，+∞），有f′（x）＞0．∴f（x）在（1，+∞）为单调增函数，∴当x＞1时，f（x）＞f（1）=0．
 （2）对任意x∈[1，]，∴f′（x）＜2 恒成立等价于
当m=0时，∵，∴f（x）在[1，]上为单调减函数．∴f（x）_max=f（1）=0＜2
当m＜0时，对任意x∈[1，]，，∴成立．
当m＞0时，
（a）当4-4m²≤0，即m≥1时，f′（x）＞0对任意的恒成立，
∴f（x）在[1，]上是增函数．∴，
 由，解得．∴1≤m＜．
（b）当4-4m²＞0，即0＜m＜1时，令f′（x）=0，得，令，得
1）当0＜m≤时，，f（x）在[1，]上是减函数，∴f（x）_max=f（1）=0＜2．
2）当＜m＜1时，，则f（x）在（1，x₂）上是减函数，∴f（x）在上是增函数，
∴当x=1或x=时，f（x）取最大值．∴，即，∴＜m＜1．
 综上，m的取值范围是．
点评：本题主要考查了利用导数研究函数单调性和函数的最值，同时考查了函数恒成立问题，是一道综合题，注意分类讨论，计算量比较大．