Question

已知二次函数y＝f₁(x)的图象以原点为顶点且过点(1，1)，反比例函数y＝f₂(x)的图象与直线y＝x的两个交点间距离为8，f(x)＝f₁(x)＋f₂(x)．

1)求函数f(x)的表达式；

2)证明：当a＞3时，函数g(x)＝f(x)－f(a)有三个零点．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由已知，设f1(x)＝ax2，由f1(1)＝1，得a＝1，∴f1(x)＝x2． 　　设f2(x)＝(k＞0)，它的图象与直线y＝x的交点分别为 　　A(，)B(－，－) 　　由＝8，得k＝8．∴f2(x)＝．故f(x)＝x2＋． 　　(2)证法一：f(x)＝f(a)，得x2＋＝a2＋， 　　即＝－x2＋a2＋． 　　在同一坐标系内作出f2(x)＝和f3(x)＝－x2＋a2＋的大致图象，其中f2(x)的图象是以坐标轴为渐近线，且位于第一、三象限的双曲线，f3(x)与的图象是以(0，a2＋)为顶点，开口向下的抛物线． 　　因此，f2(x)与f3(x)的图象在第三象限有一个交点， 　　即f(x)＝f(a)有一个负数解． 　　又∵f2(2)＝4，f3(2)＝－4＋a2＋ 　　当a＞3时．f3(2)－f2(2)＝a2＋－8＞0， 　　∴当a＞3时，在第一象限f3(x)的图象上存在一点(2，f(2))在f2(x)图象的上方． 　　∴f2(x)与f3(x)的图象在第一象限有两个交点，即f(x)＝f(a)有两个正数解． 　　因此，方程f(x)＝f(a)有三个实数解．即函数g(x)有三个零点． 　　证法二：由f(x)＝f(a)，得x2＋＝a2＋，即(x－a)(x＋a－)＝0，得方程的一个解x1＝a． 　　方程x＋a－＝0化为ax2＋a2x－8＝0，由a＞3，△＝a4＋32a＞0，得x2＝，x3＝， 　　∵x2＜0，x3＞0，∴x1≠x2，且x2≠x3．若x1＝x3，即a＝，则3a2＝，a4＝4a，得a＝0或a＝，这与a＞3矛盾，∴x1≠x3． 　　故原方程f(x)＝f(a)有三个实数解．即函数g(x)有三个零点．