Question

已知函数f（x）=ln（x+1），g(x)=

1

2

x，
（1）求函数y=f（x）-g（x）的极值；
（2）不等式f(x)＞

x+t

x+2

（t∈N^*），当x≥1时恒成立，求t的值；
（3）证明：

2

3

n＜

n

k=1

[f(2k3)-3f(k-1)]＜nln2+

5

8

．

Answer 1

分析：（1）由y=ln(x+1)-

1

2

x(x＞-1)，知y/=

1

x+1

-

1

2

=0⇒x=1，由此能求出函数y=f（x）-g（x）的极值．（2）f(x)＞

x+t

x+2

⇒t＜(x+2)ln(x+1)-x，令h（x）=（x+2）ln（x+1）-x（x≥1），则h/(x)=

x+2

x+1

+ln(x+1)-1=

1

x+1

+ln(x+1)＞0，由此能求出t的值．
（3）当x＞1时，由（1）知ln(1+x)＜

1

2

x+ln2-

1

2

，由（2）知ln(1+x)＞

x+1

x+2

，因为f(2k3)-3f(k-1)=ln(1+

k3+1

k3

)，所以ln(1+

k3+1

k3

)＜

1

2k3

+ln2＜ln2+

1

2

[

1

k(k-1)(k+1)

]，由此能够证明：

2

3

n＜

n

k=1

[f(2k3)-3f(k-1)]＜nln2+

5

8

．

解答：证明：（1）∵y=ln(x+1)-

1

2

x(x＞-1)，
∴y/=

1

x+1

-

1

2

=0⇒x=1，
且当-1＜x＜1时，y′＞0，当x＞1时，y′＜0
所以，当x=1时，y极大值=ln2-

1

2

（2）f(x)＞

x+t

x+2

⇒t＜(x+2)ln(x+1)-x，
令h（x）=（x+2）ln（x+1）-x（x≥1），
则h/(x)=

x+2

x+1

+ln(x+1)-1=

1

x+1

+ln(x+1)＞0，
∴h（x）在[1，+∞）是单调递增函数，
所以当x=1时，h（x）_min=3ln2-1，即t＜3ln2-1∈（0，2）
∴t=1．
（3）当x＞1时，由（1）知ln(1+x)＜

1

2

x+ln2-

1

2

，
由（2）知ln(1+x)＞

x+1

x+2

因为f(2k3)-3f(k-1)=ln(1+

k3+1

k3

)
所以当k≥2时，ln(1+

k3+1

k3

)＜

1

2k3

+ln2＜ln2+

1

2

[

1

k(k-1)(k+1)

]＜ln2+

1

4

[

1

k(k-1)

-

1

k(k+1)

]，
∴

n

k=1

[f(2k3)-3f(k-1)]＜nln2+

5

8

另一方面，ln(1+

k3+1

k3

)＞

2k3+1

3k3+1

＞

2

3

，
即

n

k=1

[f(2k3)-3f(k-1)]＞

2

3

n
故：

2

3

n＜

n

k=1

[f(2k3)-3f(k-1)]＜nln2+

5

8

．

点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．