Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c在x=-1与x=2处都取得极值．
（Ⅰ）求a，b的值及函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对x∈[-2，3]，不等式f（x）+

3

2

c＜c²恒成立，求c的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求出f′（x）并令其=0得到方程，把x=-1和x=2代入求出a、b即可；
（2）求出函数的最大值为f（-1），要使不等式恒成立，既要证f（-1）+

3

2

c＜c²，即可求出c的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=3x²+2ax+b，
由题意：

f′(-1)=0 f′(2)=0

即

3-2a+b=0 12+4a+b=0

解得

a=- 3 2 b=-6

∴f(x)=x3-

3

2

x2-6x+c，f′（x）=3x²-3x-6
令f′（x）＜0，解得-1＜x＜2；
令f′（x）＞0，解得x＜-1或x＞2，
∴f（x）的减区间为（-1，2）；增区间为（-∞，-1），（2，+∞）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在（-∞，-1）上单调递增；
在（-1，2）上单调递减；在（2，+∞）上单调递增．
∴x∈[-2，3]时，f（x）的最大值即为f（-1）与f（3）中的较大者.f(-1)=

7

2

+c；f(3)=-

9

2

+c
∴当x=-1时，f（x）取得最大值．
要使f(x)+

3

2

c＜c2，只需c2＞f(-1)+

3

2

c，即：2c²＞7+5c
解得：c＜-1或c＞

7

2

．
∴c的取值范围为(-∞，-1)∪(

7

2

，+∞)．

点评：考查学生利用导数求函数极值的能力，利用导数研究函数单调性的能力，以及掌握不等式的证明方法．