Question

（1）已知π＜α+β＜

3π

2

，-

π

4

＜α-β＜0，sin（α+β）=-

3

5

，cos（α-β）=

12

13

，求sin2α 的值．
（2）已知tanα=-

3

4

，求

5sin2 α 2 +8sin α 2 cos α 2 +11cos2 α 2 -8

2 sin(α- π 2 )

的值．

Answer 1

分析：（1）利用角的变换sin2α=sin[（α+β）+（α-β）]，根据和角的正弦公式，即可求得结论；
（2）先利用二倍角公式、诱导公式化简，再代入计算，即可得出结论．

解答：解：（1）∵π＜α+β＜

3π

2

，sin（α+β）=-

3

5

，
∴cos（α+β）=-

4

5

，
∵-

π

4

＜α-β＜0，cos（α-β）=

12

13

，
∴sin（α-β）=-

5

13

，
∴sin2α=sin[（α+β）+（α-β）]=sin（α+β）cos（α-β）+cos（α+β）sin（α-β）=(-

3

5

)×

12

13

+(-

4

5

)×(-

5

13

)=-

16

65

；
（2）

5sin2 α 2 +8sin α 2 cos α 2 +11cos2 α 2 -8

2 sin(α- π 2 )

=

5 2 (1-cosα)+4sinα+ 11 2 (1+cosα)-8

- 2 cosα

=-

3

2

2

-2

2

tanα，
∵tanα=-

3

4

，
∴原式=-

3

2

2

+

3

2

2

=0

点评：本题考查三角恒等变换，考查二倍角公式的运用，考查学生的计算能力，正确化简是关键．