Question

已知曲线C上的动点M（x，y）满足到点（1，0）的距离比到直线x=-2的距离小1．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点P（2，4）的直线与曲线C交于A、B两点，在线段AB上取点Q，满足|•||•||，证明：
（ⅰ）；（ⅱ）点Q总在某定直线上．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用抛物线定义，很容易判断曲线C的轨迹为抛物线，再利用求抛物线方程的方法求出曲线C的方程．
（2）（ⅰ）要证，只需用分析法逐步变形，寻找成立的充分条件即可，最后寻找到恒成立的条件．
（ⅱ）要证点Q总在某定直线上，只要找到一条直线，使其上面有点满足，即可．
解答：解：（1）依题意有|-1，
由显然x＞-2，得|，
化简得y²=4x；                              
（2）证明：（ⅰ）|•|•||⇒
⇒|AP|•||•||•||•|||•||•||
⇒
（ⅱ）设点A、B的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），不妨设点A在点P与点B之间，点Q（x，y），
依（ⅰ）有*，
又可设过点P（2，4）的直线方程为y=k（x-2）+4，
得-16k+16，x₁+x₂=，代入上*式得，
又k=，得x-2y+2=0，
当直线AB的斜率不存在时，也满足上式．即点Q总过直线x-2y+2=0，得证．
点评：本题考查了定义法求轨迹方程，以及分析法证明不等式，做题时要认真分析，找到各知识点之间的联系．