题目内容

设△ABC是锐角三角形，a，b，c分别是内角A，B，C所对边长，a=2bsinA．
（1）求角B的大小；
（2）求cosA+sinC的取值范围．

解：（1）由正弦定理得：a=2bsinA?sinA=2sinBsinA，
∵A为锐角，故sinA≠0，
∴sinB= $\text{[math]}$ ，而B为锐角，
∴B= $\text{[math]}$ ．
（2）∵B= $\text{[math]}$ ，
∴A+C= $\text{[math]}$ ，
∴cosA+sinC=
cosA+sin（ $\text{[math]}$ -A）
=cosA+sin $\text{[math]}$ cosA-cos $\text{[math]}$ sinA
= $\text{[math]}$ cosA+ $\text{[math]}$ sinA
= $\text{[math]}$ sin（A+ $\text{[math]}$ ）．
∵△ABC是锐角三角形，A+C= $\text{[math]}$ ，
∴0＜C= $\text{[math]}$ -A＜ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ＜A＜ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ＜A+ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ＜sin（A+ $\text{[math]}$ ）＜ $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ sin（A+ $\text{[math]}$ ）＜ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由正弦定理可得sinB的值，从而可求得角B的大小；
（2）由B= $\text{[math]}$ ，可知A+C= $\text{[math]}$ ，将cosA+sinC转化为cosA+sin（ $\text{[math]}$ -A），在利用三角函数间的关系转化为关于A的同角同名函数即可．
点评：本题考查正弦定理的应用，考查三角函数中的恒等变换应用，求得角B的大小是基础，利用A+C= $\text{[math]}$ 转化为单角的三角函数式是关键，属于中档题．