题目内容
已知函数f（x）=lnx+ax-a2x2（a≥0）．
（1）若x=1是函数y=f（x）的极值点，求a的值；
（2）求函数y=f（x）的单调区间．
解：（1）函数定义域为（0，+∞），
因为x=1是函数y=f（x）的极值点，所以f′（1）=1+a-2a2=0，解得
或a=1，
因为a＞0，所以a=1；
（2）若a=0，
＞0，
∴函数f（x）的单调增区间为（0，+∞）；
若a≠0，则a＞0，=
由f′（x）＞0，结合函数的定义域，可得0＜x＜
；由f′（x）＜0，结合函数的定义域，可得x＞；
∴函数的单调增区间为（0，）；单调减区间为（，+∞）．
分析：（1）确定函数的定义域，求导函数，利用x=1是函数y=f（x）的极值点，即可求a的值；
（2）分类讨论，利用导数的正负，结合函数的定义域，可得函数的单调区间．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查函数的单调性，正确求导，合理分类是关键．
因为x=1是函数y=f（x）的极值点，所以f′（1）=1+a-2a2=0，解得
或a=1，因为a＞0，所以a=1；
（2）若a=0，
＞0，∴函数f（x）的单调增区间为（0，+∞）；
若a≠0，则a＞0，
=由f′（x）＞0，结合函数的定义域，可得0＜x＜
；由f′（x）＜0，结合函数的定义域，可得x＞；∴函数的单调增区间为（0，
）；单调减区间为（，+∞）．分析：（1）确定函数的定义域，求导函数，利用x=1是函数y=f（x）的极值点，即可求a的值；
（2）分类讨论，利用导数的正负，结合函数的定义域，可得函数的单调区间．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查函数的单调性，正确求导，合理分类是关键．
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