Question

（2012•重庆）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球三次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为

1

3

，乙每次投篮投中的概率为

1

2

，且各次投篮互不影响．
（Ⅰ）求乙获胜的概率；
（Ⅱ）求投篮结束时乙只投了2个球的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）分别求出乙第一次投球获胜的概率、乙第二次投球获胜的概率、乙第三次投球获胜的概率，相加即得所求．
（Ⅱ）由于投篮结束时乙只投了2个球，说明第一次投球甲乙都没有投中，第二次投球甲没有投中、乙投中，或第三次投球甲投中了，把这两种情况的概率相加，即得所求．

解答：解：（Ⅰ）∵乙第一次投球获胜的概率等于

2

3

×

1

2

=

1

3

，乙第二次投球获胜的概率等于(

2

3

)2•

1

2

•

1

2

=

1

9

，乙第三次投球获胜的概率等于(

2

3

)3 (

1

2

)2

1

2

=

1

27

，
故 乙获胜的概率等于

1

3

+

1

9

+

1

27

=

13

27

．
（Ⅱ）由于投篮结束时乙只投了2个球，说明第一次投球甲乙都没有投中，第二次投球甲没有投中、乙投中，或第三次投球甲投中了．
故投篮结束时乙只投了2个球的概率等于  (

2

3

)2×

1

2

×

1

2

+

1

2

×

1

2

×(

2

3

)2×

1

3

=

4

27

．

点评：本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．