Question

（2012•重庆）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为

1

3

，乙每次投篮投中的概率为

1

2

，且各次投篮互不影响．
（Ⅰ） 求甲获胜的概率；
（Ⅱ） 求投篮结束时甲的投篮次数ξ的分布列与期望．

Answer 1

分析：设A_k，B_k分别表示甲、乙在第k次投篮投中，则P（A_k）=

1

3

，P（B_k）=

1

2

（k=1，2，3）
（Ⅰ） 记“甲获胜”为事件C，则P（C）=P（A₁）+P（

.

A1

.

B1

A2）+P（

.

A1

.

B1

.

A2

.

B2

A3），利用互斥事件的概率公式即可求解；
（Ⅱ） 投篮结束时甲的投篮次数ξ的可能值为1，2，3，求出相应的概率，即可得到ξ的分布列与期望．

解答：解：设A_k，B_k分别表示甲、乙在第k次投篮投中，则P（A_k）=

1

3

，P（B_k）=

1

2

（k=1，2，3）
（Ⅰ） 记“甲获胜”为事件C，则P（C）=P（A₁）+P（

.

A1

.

B1

A2）+P（

.

A1

.

B1

.

A2

.

B2

A3）
=

1

3

+

2

3

×

1

2

×

1

3

+(

2

3

)2×(

1

2

)2×

1

3

=

13

27

；
（Ⅱ） 投篮结束时甲的投篮次数ξ的可能值为1，2，3
P（ξ=1）=P（A₁）+P（

.

A1

B1）=

1

3

+

2

3

×

1

2

=

2

3

P（ξ=2）=P（

.

A1

.

B1

 A2）+P（

.

A1

.

B1

.

A2

 B2）=

2

3

×

1

2

×

1

3

+(

2

3

)2×(

1

2

)2=

2

9

P（（ξ=3）=P（

.

A1

.

B1

.

A2

.

B2

）=(

2

3

)2×(

1

2

)2=

1

9

ξ的分布列为

ξ	1	2	3
P	2 3	2 9	1 9

期望Eξ=1×

2

3

+2×

2

9

+3×

1

9

=

13

9

．

点评：本题考查互斥事件概率的求解，考查离散型随机变量的分布列与期望，解题的关键是确定变量的取值，理解变量取值的含义，属于中档题．