Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c，（a，b，c∈R）满足：对任意实数x，都有f（x）≥x，且当x∈（1，3）时，有成立．
（1）证明：f（2）=2；
（2）若f（-2）=0，求f（x）的表达式．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f（x）≥x得f（2）≥2因为当x∈（1，3）时，有f（x）≤成立，所以f（2）≤=2．从而求得f（2）的值即可；
（2）由得出a，b，c的关系式，于是f（x）=ax²+x+1-4a，结合f（x）≥x?ax²-x+1-4a≥0．结合方程的思想求得a值即可得出f（x）的表达式．
解答：证明：（1）由f（x）≥x得f（2）≥2．…（2分）
因为当x∈（1，3）时，有f（x）≤成立，所以f（2）≤=2．
所以f（2）=2．…（4分）
解：（2）由得
从而有b=，c=1-4a．于是f（x）=ax²+x+1-4a．…（7分）
f（x）≥x?ax²-x+1-4a≥0．
若a=0，则-x+1≥0不恒成立．
所以即解得a=．…（11分）
当a=时，f（x）=
满足f（x）≤．…（12分）
故f（x）=．…（14分）
点评：本题主要考查一元二次函数的性质，以及函数的图象问题、函数与方程的综合运用，这是一道思维性很强的题，有很多同学思考不到位．