Question

已知四棱锥P-ABCD中PA⊥平面ABCD，且PA=4PQ=4，底面为直角梯形，
∠CDA=∠BAD=90°，AB=2，CD=1，AD=

2

，M，N分别是PD，PB的中点．
（1）求证：MQ∥平面PCB；
（2）求截面MCN与底面ABCD所成二面角的大小；
（3）求点A到平面MCN的距离．

Answer 1

分析：此类题一般有两种解法，一种是利用空间向量方法来证明，一种是用立体几何中线面位置关系进行证明，本题提供两种解法
向量法：对于（1）求证：MQ∥平面PCB，可求出线的方向向量与面的法向量，如果两者的内积为0则说明线面平行
对于（2）求截面MCN与底面ABCD所成二面角的大小，求出两个平面的法向量，然后根据根据二面角的正弦与法向量的数量积的关系，求解；
对于（3）求点A到平面MCN的距离，求出平面上任一点与A连线所对应的向量，求这个向量在该平面的法向量上的投影即可，此法求点到面的距离甚为巧妙．
几何法：（1）求证MQ∥平面PCB，用线面平行的判定定理证明即可；
（2）求截面MCN与底面ABCD所成二面角的大小，先在图形中作出二面角的平面角，再证明其是二面角的平面角，然后根据题设中的条件求出平面角的三角函数值，一般要在一个三角形中求解函数值．
（3）求点A到平面MCN的距离，须先作出点A在面上的垂线段，然后在三角形中求出此线段的长度即可．

解答：解：法一向量法：
以A为原点，以AD，AB，AP分别为x，y，z建立空间直角坐标系O-xyz，
由AB=2，CD=1，AD=

2

，PA=4PQ=4，M，N分别是PD，PB的中点，
可得：A(0，0，0)，B(0，2，0)，C(

2

，1，0)，D(

2

，0，0)，P(0，0，4)，Q(0，0，3)，M(

2

2

，0，2)，N(0，1，2)，
∴

BC

=(

2

，-1，0)，

PB

=(0，2，-4)，

MQ

=(-

2

2

，0，1)
设平面的PBC的法向量为

n0

=(x，y，z)，
则有：

n0 ⊥ BC ?(x，y，z)•( 2 ，-1，0)=0? 2 x-y=0 n0 ⊥ PB ?(x，y，z)•(0，2，-4)=0?2y-4z=0

令z=1，则x=

2

，y=2?

n0

=(

2

，2，1)，（3分）
∴

MQ

•

n0

=(-

2

2

，0，1)•(

2

，2，1)=0，
又MQ?平面PCB，∴MQ∥平面PCB；
（2）设平面的MCN的法向量为

n

=(x，y，z)，又

CM

=(-

2

2

，-1，2)，

CN

=(-

2

，0，2)
则有：

n ⊥ CM ?(x，y，z)•(- 2 2 ，-1，2)=0?- 2 2 x-y+2z=0 n ⊥ CN ?(x，y，z)•(- 2 ，0，2)=0?- 2 x+2z=0

令z=1，则x=

2

，y=1?

n

=(

2

，1，1)，
又

AP

=(0，0，4)为平面ABCD的法向量，
∴cos?

n

，

AP

＞=

n • AP

| n |•| AP |

=

4

2×4

=

1

2

，又截面MCN与底面ABCD所成二面角为锐二面角，
∴截面MCN与底面ABCD所成二面角的大小为

π

3

，
（3）∵

CA

=(-

2

，-1，0)，∴所求的距离d=

| n • CA |

| n |

=

|- 2 × 2 -1×1+1×0|

2

=

3

2

；
法二，几何法：
（1）取AP的中点E，连接ED，则ED∥CN，依题有Q为EP的中点，所以MQ∥ED，所以MQ∥CN，
又MQ?平面PCB，CN?平面PCB，∴MQ∥平面PCB
（2）易证：平面MEN∥底面ABCD，所以截面MCN与平面MEN所成的二面角即为平面MCN与底面ABCD所成的二面角，
因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥平面MEN，过E做EF⊥MN，垂足为F，连接QF，
则由三垂线定理可知QF⊥MN，
由（1）可知M，C，N，Q四点共面所以∠QFE为截面MCN与平面MEN所成的二面角的平面角，在Rt△MEN中，ME=

2

2

，NE=1，MN=

6

2

，故EF=

3

3

，
所以：tan∠QFE=

3

，
所以：∠QFE=

π

3

；
（3）因为EP的中点为Q，且平面MCN与PA交于点Q，所以点A到平面MCN的距离是点E到平面MCN的距离的3倍，
由（2）知：MN⊥平面QEF，则平面MCNQ⊥平面QEF且交线为QF，作EH⊥QF，垂足为H，则EH⊥平面MCNQ，故EH即为点E到平面MCN的距离．
在Rt△EQF中，EF=

3

3

，∠EQF=

π

6

，故EH=

1

2

．即：点A到平面MCN的距离为

3

2

．

点评：本题考查了线面平行的证明与二面角的求法，点到面的距离的求法，是立体几何中一道综合性很强的题，解答本题有一定难度，空间向量的引入给解决此类题提供了一个较好的办法，题后总结一下两种方法求解本题的优缺点，体会向量法的思维易而运算难与几何法的思维难而运算易的特征．