Question

已知F₁、F₂是椭圆的两焦点，P是椭圆在第一象限弧上一点，且满足=1，过点P作倾斜角互补的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点，
（1）求P点坐标；
（2）求证直线AB的斜率为定值；
（3）求△PAB面积的最大值。

Answer 1

解：（1）由题可得F₁（0，），F₂（0，），
设P（x₀，y₀）（x₀＞0，y₀＞0），
则，
∴，
在曲线上，
则，
∴，
得，
则点P的坐标为（1，）。
 （2）由题意知，两直线PA、PB的斜率必存在，
设PB的斜率为k（k＞0），
则BP的直线方程为：y-=k（x-1），
由，
设，
则，
同理可得，
则，
∴AB的斜率为定值。
（3）设AB的直线方程：，
，
由，
P到AB的距离为，
，
则
，
当且仅当m=±2∈（-2，2）取等号。
∴三角形PAB面积的最大值为。