Question

如图，正方形所在平面与圆所在平面相交于，线段为圆的弦，垂直于圆所在平面，垂足是圆上异于、的点，，圆的直径为9。

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）求二面角的平面角的正切值。

Answer 1

(Ⅰ)证明：∵垂直于圆所在平面，在圆所在平面上，

∴。

在正方形中，，

∵，∴平面．∵平面，

∴平面平面。 ……………………………………………6分

（Ⅱ）解法1：∵平面，平面，

∴。

∴为圆的直径，即．

设正方形的边长为，

在△中，，

在△中，，

由，解得，。 ∴。

过点作于点，作交于点，连结，

由于平面，平面，∴。∵，

∴平面。∵平面，

∴。∵，，

∴平面。∵平面，∴

∴是二面角的平面角。…………………………………10分

在△中，，，，

∵，∴。

在△中，，,∴。……………13分

故二面角的平面角的正切值为。 …………………………14分

解法2：∵平面，平面，

∴。∴为圆的直径，即。

设正方形的边长为，在△中，，

在△中，，

由，解得，。∴。

以为坐标原点，分别以、所在的直线为轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，

， 。……………8分

设平面的法向量为，

则即

取，则是平面的一个法向量。…………9分

设平面的法向量为，则即

取，则是平面的一个法向量。…………10分

,。

∴…………………………………………………………13分

故二面角的平面角的正切值为。………………………………14分